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実際, X を2点x, y を含む密着空間とす ると, xを含むX の開集合もy を含むX の開集合もX のみであるから, xとy を開集合により 分離することはできない. 0 でないイデアルが素イデアルの積として一意的に分解できること, 有理素数p で生成さ れるOm の単項イデアル(p) の素イデアル分解がArtin記号により判定できることなどを 証明する. つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0，∞）で一様連続でない」 ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に 対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。 これを示しましょう。 - 特許庁 このとき，任意の$\m{x},\m{y}\in\mathcal{C}$に対して，イメージしにくい場合には，$n=1$として連立でない単一の微分方程式と思って読んでも本質的に問題ありません．$\m{f}\in C^m(D)$なら，解は$\m{x}\in C^{m+1}(D)$となることを示します．よって，任意の$t\in I_{K+}:=I_K\cap I_+$に対して$(t,\m{x}(t)), (t,\m{y})\in D$が成り立つから，[Step 2]と同様にこのとき，$f$は$D$上で連続だから，積分方程式の右辺$\m{x}_0+\int_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau$に$\m{x}=\m{x}_k\in C^0(I)$を代入できて，[1]　任意の$t\in I$に対して，$\m{x}_1(t):=\m{x}_0$と定めます．積分方程式$\m{x}(t)=\m{x}_0+\dint_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau$が自動的に初期条件$\m{x}(t_0)=\m{x}_0$を満たすのはありがたい点です．よって，$(t_0+T_{1+},\m{x}(t_0+T_{1+}))\in D$となって$T_1$の上限性に矛盾するから$T_1=T^*$である．この記事での[Picard-Lindelöfの定理]の証明には[Banachの不動点定理]を用います．いろいろ説明する前に，まずは[Picardの逐次近似法]の具体例を考えます．なので，$\Phi$は$\mathcal{C}$上の一様ノルム$\|\cdot\|_{I_K}$に関する縮小写像である．これで[Picard-Lindelöfの定理]が証明できました．このとき，$\m{x}_1\in C^0(I)$なので，$(t,\m{x}_1(t))=(t,\m{x}_0)\in D$ですね．である．$x_0(t)\equiv x(0)=1$として，Picardの逐次近似法により$\{x_k\}_{k=0}^{\infty}$を構成すると，[Step 3]と同様に，初期時間を置き直して考えることを繰り返せば，$[t_0,t_0+T^*]$上で恒等的に$\m{x}=\m{y}$となる．同様に，$\inf I_K>\inf I$なら，解の定義域は$t_0-T^*\le t$にまで延長できる．が写像$f$の不動点である．ここに，写像$f^n$は$f$を$n$回施す写像である．よって，初期条件$\m{x}(t_0)=\m{x}_0$を満たす積分方程式$(t_0,\m{x}(t_0))\in D^i$ ($D^i$は$D$の内部)だから，$\m{x}$の連続性より$I\subset\R$を閉区間，$t_0\in I$，$\m{x}_0\in\R^n$とする．このとき，以下の２条件は同値である．これにより，確かに[Picardの逐次近似法]で定まる関数列$\{\m{x}_n\}_{n=1}^{\infty}$が数学的にもきちんと定義されることが保証されましたね．を定めると，$\mathcal{C}$は一様ノルム$\|\cdot\|_{I_K}$に関する空でない完備距離空間となることを示します．で定めると，$\Phi$は$\mathcal{C}$上の縮小写像となることを示します．念のため，以下で[Picardの逐次近似法]の定義がうまく機能していることをみておきましょう．任意に$\m{x}\in\mathcal{C}$をとる．このとき，が存在する．$D$は閉集合だから，再び$\m{x}$の連続性と併せて$(t_0+T_1,\m{x}(t_0+T_1)) \in D$である．である．よって，$\Phi(\m{x})\in\mathcal{C}$となる．すなわち，$\Phi:\mathcal{C}\to\mathcal{C}$である．これを繰り返すことにより，解の定義域は$t\le t_0+T^*$にまで延長できる．そのため，次は$C^0(I)$においても解が一意であることを示しましょう．よって，$\m{f}(\cdot,\m{x})\in C^{\ell+1}(D)$だから，不定積分$\dint_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau$で定まる関数は$D$上$C^{\ell+2}$級となる．で$I$上の関数$\m{x}_{k+1}$を定めます．このとき，任意の$t\in I$に対して$I_{K}:=\brc{t_0-\frac{1}{2K},t_0+\frac{1}{2K}}\cap I$とし，関数空間である．さらに，$\m{f}\in(C^m(D))^n$なら，解は$\m{x}\in(C^{m+1}(I))^n$となる．はけっこう広い条件ですから，応用上多くの方程式に対してこの定理は適用できます．このとき，初期条件$\m{x}(t_0)=\m{x}_0$を満たす常微分方程式それでは，この[Picardの逐次近似法]を保証する[Picard–Lindelöfの定理]を厳密に考えていきましょう．また，$t\in I_K$のとき$|t-t_0|\le T^*$だから$\m{f}\in C^{\ell+1}(D)$なら$\m{f}\in C^{\ell}(D)$だから，帰納法の仮定より$\m{x}\in C^{\ell+1}(D)$である．[Step 1]より$\mathcal{C}$は空でない完備距離空間であり，[Step 2]より$\Phi$が$\mathcal{C}$上の縮小写像だから，[Banachの不動点定理]より$\Phi$の不動点が$\mathcal{C}$上にただ１つ存在する．すなわち，を併せると，任意の$t\in I_K$に対して$\dint_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau$が定義できる．それでは，[Picard-Lindelöfの定理]を５つのステップに分けて証明します．$I_K$上で恒等的に$\m{x}_0$をとる関数は$\mathcal{C}$に属するから$\mathcal{C}\neq\emptyset$である．よって，連続関数の積分なので，右辺の$\dint_{t_0}^{t}\m{f}(\tau,\m{x}(\tau))\,d\tau$は$t$に関して$I$上$C^1$級である．[1], [2]より，$\m{f}\in C^m(D)$なら，解は$\m{x}\in C^{m+1}(D)$となることが分かった．これより，左辺の$\m{x}(t)$も$I$上$C^1$級となって，両辺を$t$で微分すると途中で[Banachの不動点定理]を適用して解の存在を示したわけですが，[Banachの不動点定理]によりこのとき，変数を$\tau$に置き換えて両辺を$\tau$について$[t_0,t]$上で積分すると，微分積分学の基本定理から[2]　任意の$t\in I$に対して$(t,\m{x}_k(t))\in D$となる$\m{x}_k\in C^0(I)$が定まったとします．関数$x$は初期条件$x(0)=1$をみたす微分方程式$\displaystyle\od{x}{t}(t)=x(t)$の解となります．もし$\sup I_K<\sup I$なら，$t_0+\frac{1}{2K}$を初期時間とみなせば，これまでと同じ議論により解が$t\le t_0+\frac{2}{2K}$まで延長できる．だから，ある$\m{x}\in(C^0(I_{K}))^n$が存在して$\m{x}=\lim\limits_{k\to\infty}\m{x}_k$を満たす．それでは[Picard-Lindelöfの定理]の説明に移ります．[1]　$\Phi$の値域が$\mathcal{C}$であることを示す．なお，$\mathcal{C}$は閉集合なので，位相空間の一般論から$\m{x}\in\mathcal{C}$としても良いですね．$\m{x},\m{y}\in C^0(I)$を積分方程式の解とする．で定め，関数$\m{f}:\R\times\R^n\to\R^n$は次を同時に満たすとする．同様にして$[t_0-T^*,t_0]$上でも恒等的に$\m{x}=\m{y}$となるから，結局$I$上で恒等的に$\m{x}=\m{y}$となる．これは$n$個の$C^0(I)$の直積で，イメージとしては$\R$の$n$個の直積を$\R^n$と表すのと同じです．ここで，もし$T_1<T^*$なら，$MT_1<R$かつ$T_1<T$だから$MT_1<MT_{1+}<R$かつ$T_1<T_{1+}<T$なる$T_{1+}$が存在する．この連立方程式はベクトル$\m{x}=\bmat{x_1\\\vdots\\x_n}$, $\m{f}=\bmat{f_1\\\vdots\\f_n}$を用いてまた，$\m{f}$はもとより$D$上で連続なので，$\m{f}$に連続な$\m{x}$を合成した関数$\m{f}(t,\m{x}(t))$は$t$に関して$I$上で連続となる．すなわち，$x_{n}(t)$は$e^t$の$n$次までの近似となっているから，$n\to\infty$としたときの極限関数$x(t)$は$x(t)=e^t$となる．の解$\m{x}$が$C^1(I)$において一意に存在することを示します．[1]　初期条件$\m{x}(t_0)=\m{x}_0$を満たす常微分方程式一様ノルム$\|\cdot\|_{I_K}$に関するCauchy列$\{\m{x}_k\}_{k\in\N}\subset\mathcal{C}$を任意にとる．このとき，積分方程式に$t=t_0$を代入すると，右辺の積分範囲は$[t_0,t_0]$となって積分値は０だから，初期条件$\m{x}(t_0)=\m{x}_0$が得られる．$C^0(I)$は$I$上で定義された連続関数全体の集合で，$n$個の成分が全て$C^0(I)$の元であるようなベクトル全体の集合を$(C^0(I))^n$と表します．[2]　$\Phi$が$\mathcal{C}$上の縮小写像であることを示す．これより，$I_{K+}$上で恒等的に$\m{x}=\m{y}$であることが分かった．閉区間$I\subset\R$に対して，関数$u:I\to\R$に対して，一様ノルム$\|\cdot\|_I$を[Picard-Lindelöfの定理]　$t_0\in\R$, $\m{x}_0\in\R^n$, $T>0$, $R>0$とする．$\R\times\R^n$上の閉集合$D$をを満たす$\m{x}\in\mathcal{C}$が一意に存在する．よって，初期条件$\m{x}(t_0)=\m{x}_0$を満たす常微分方程式初期条件$\m{x}(t_0)=\m{x}_0$を満たす常微分方程式[Banachの不動点定理(縮小写像の原理)]　空でない完備距離空間$(X,d)$上の縮小写像$f$は不動点を唯一つもつ．なお，任意の$x\in X$に対してとなって$\|\m{x}-\m{y}\|_{I_{K+}}=0$を得る．の解$\m{x}\in(C^1(I))^n$が一意に存在する．ここに，任意の$k\in\N$に対して，$\m{x}_k\in\mathcal{C}$だからだから，$(t,\m{x}_{k+1}(t))\in D$ですね．[Picardの逐次近似法]を使うために，まずはこの微分方程式の両辺を$t$で積分して，積分方程式に変形します：また，$D$は有界閉集合で$\m{f}$は$D$上連続なので，$\m{f}$は有界となり$M:=\sup\limits_{(t,\m{x})\in D}|\m{f}(t,\m{x})|$は存在します．を得る．したがって，$\{\m{x}_k\}_{k\in\N}$の極限が$\mathcal{C}$に属するから，$\mathcal{C}$は完備である．よって，積分の連続性から$\Phi(\m{x})\in (C^0(I_K))^n$を得る．